Exercícios de Problemas com Funções de 2º Grau para Estudantes

A compreensão das funções quadráticas é fundamental na formação matemática dos estudantes, especialmente em tópicos relacionados a problemas que envolvem a segunda grau. Essas funções, que podem ser representadas por parábolas no plano cartesiano, aparecem frequentemente em situações do cotidiano, como na física, na economia, na engenharia e até mesmo na biologia. Dominar a resolução de problemas envolvendo funções de 2º grau é essencial para desenvolver o raciocínio lógico e a capacidade de análise de situações diversas.

Neste artigo, apresentarei uma abordagem completa e didática com exercícios e problemas que envolvem funções quadráticas, oferecendo exemplos resolvidos, dicas e estratégias para que você possa aprimorar seus conhecimentos nesta área. Afinal, uma prática consistente é o caminho mais eficaz para consolidar conceitos e garantir um bom desempenho em avaliações escolares.

O que são funções de 2º grau?

Definição e representação geral

Uma função de 2º grau, também conhecida como função quadrática, é uma função polinomial de grau 2, cuja expressão geral é:

f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais, com a ≠ 0.

Parábola: O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Dependendo do sinal de a, a parábola pode abrir para cima (a > 0) ou para baixo (a < 0).

Elementos de uma função quadrática

Vamos conhecer alguns elementos importantes relacionados às funções de 2º grau:

Fórmulas importantes

• Vértice:
  x₍v₎ = -b / (2a)
  y₍v₎ = f(x₍v₎)

• Discriminante (Δ):
  Δ = b² - 4ac
  Indica a quantidade de raízes e sua natureza:

• Δ > 0: duas raízes reais distintas
• Δ = 0: uma raiz real (raízes iguais)

• Δ < 0: raízes complexas

• Raízes (x₁ e x₂):
  x = [-b ± √Δ] / (2a)

Exercícios de Problemas com Funções de 2º Grau

1. Problema de aplicação com lançamento de projeis

Enunciado: Um projétil é lançado verticalmente para cima com velocidade inicial de 20 m/s. A altura ( h(t) ), em metros, após t segundos, é dada por:

[ h(t) = -5t^2 + 20t ]

Considere que a altura máxima será atingida no ponto mais alto da parábola. Determine:

a) O tempo para atingir a altura máxima.
b) A altura máxima alcançada.
c) O tempo necessário para o projétil tocar o chão novamente.

Resolução:
a) Para encontrar o tempo no qual a altura é máxima, encontramos o vértice da parábola:

[ t_{v} = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2 \times (-5)} = -\frac{20}{-10} = 2\, \text{s} ]

b) Altura máxima (( h_{max} )):

[ h(2) = -5(2)^2 + 20(2) = -5 \times 4 + 40 = -20 + 40 = 20\, \text{m} ]

c) Para determinar o tempo em que o projétil toca o chão, fazemos ( h(t) = 0 ):

[ -5t^2 + 20t = 0 ][ t(-5t + 20) = 0 ]

Assim, ( t = 0 ) (momento do lançamento) ou:

[ -5t + 20 = 0 \Rightarrow t = \frac{20}{5} = 4\, \text{s} ]

2. Problema de maximização de lucro

Enunciado: Uma empresa produz um produto cujo preço de venda ( p(x) ), em reais, depende da quantidade ( x ) de unidades produzidas, segundo a função:

[ p(x) = -2x^2 + 40x + 100 ]

Sabendo que o custo fixo é de R$ 100,00 e o custo variável por unidade é de R$ 20,00, responda:

a) Qual é a quantidade de unidades que maximiza o lucro?
b) Qual é o valor do lucro máximo?
c) A que preço deve vender o produto para atingir esse lucro máximo?

Resolução:
a) O lucro (( L(x) )) é dado por:

[ L(x) = (preço \times quantidade) - custo_total ]

Custo total:

[ C(x) = custo_fixo + custo_variável \times x = 100 + 20x ]

Lucro:

[ L(x) = p(x) \times x - C(x) ][ L(x) = (-2x^2 + 40x + 100) \times x - (100 + 20x) ]

Calculando:

[ L(x) = -2x^3 + 40x^2 + 100x - 100 - 20x ][ L(x) = -2x^3 + 40x^2 + 80x - 100 ]

Para maximizar o lucro, derivamos ( L(x) ):

[ L'(x) = -6x^2 + 80x + 80 ]

Igualando a zero para encontrar pontos críticos:

[ -6x^2 + 80x + 80 = 0 ]Dividindo por -2:

[ 3x^2 - 40x - 40 = 0 ]

Calculando as raízes:

[ x = \frac{40 \pm \sqrt{(-40)^2 - 4 \times 3 \times (-40)}}{2 \times 3} ][ x = \frac{40 \pm \sqrt{1600 + 480}}{6} ][ x = \frac{40 \pm \sqrt{2080}}{6} ][ \sqrt{2080} \approx 45.6 ]

Assim:

[ x \approx \frac{40 \pm 45.6}{6} ]

• Para a raiz positiva:

[ x \approx \frac{40 + 45.6}{6} = \frac{85.6}{6} \approx 14.27 ]

• Para a raiz negativa:

[ x \approx \frac{40 - 45.6}{6} = \frac{-5.6}{6} \approx -0.93 ] (não faz sentido produzir quantidade negativa)

Portanto, a quantidade de unidades que maximiza o lucro é aproximadamente 14 unidades.

b) Valor do lucro máximo:

Calculamos ( L(14) ):

[ L(14) = -2(14)^3 + 40(14)^2 + 80(14) - 100 ]

[ = -2 \times 2744 + 40 \times 196 + 1120 - 100 ]

[ = -5488 + 7840 + 1120 - 100 ]

[ = (7840 - 5488) + (1120 - 100) = 2352 + 1020 = 3372 ]

Lucro máximo ≈ R$ 3.372,00.

c) Preço de venda para esse ponto:

[ p(14) = -2(14)^2 + 40 \times 14 + 100 ][ = -2 \times 196 + 560 + 100 ][ = -392 + 560 + 100 = 268 ]

Assim, o preço de venda ideal é aproximadamente R$ 268,00 por unidade.

3. Problema envolvendo a análise de zeros da função

Enunciado: A parábola ( f(x) = x^2 - 6x + 8 ) representa a trajetória de uma bola lançada. Determine os momentos em que a bola toca o solo (quando a altura é zero).

Resolução:
Calculamos as raízes de ( f(x) = 0 ):

[ x^2 - 6x + 8 = 0 ][ \Delta = (-6)^2 - 4 \times 1 \times 8 = 36 - 32 = 4 ]

Raízes:

[ x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2} ]

• ( x_1 = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2 )
• ( x_2 = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4 )

Portanto, a bola toca o solo nos instantes ( t = 2 ) segundos e ( t = 4 ) segundos.

4. Problema de parábola de lançamento oblíquo

Enunciado: Um objeto é lançado com uma velocidade inicial de 30 m/s formando um ângulo de 45° com a horizontal. A altura ( h(t) ), em metros, após t segundos, é dada por:

[ h(t) = -4.9 t^2 + 21.2 t ]

Onde 4.9 corresponde a metade da aceleração da gravidade (em m/s²). Determine:

a) Tempo de máxima altura.
b) Altura máxima atingida.
c) Tempo para o objeto tocar o chão.

Resolução:
a) Tempo no vértice:

[ t_{v} = -\frac{b}{2a} = -\frac{21.2}{2 \times (-4.9)} = -\frac{21.2}{-9.8} \approx 2.16\, \text{s} ]

b) Altura máxima:

[ h(2.16) = -4.9(2.16)^2 + 21.2 \times 2.16 ]

Calculando:

[ (2.16)^2 \approx 4.67 ][ h_{max} = -4.9 \times 4.67 + 21.2 \times 2.16 ][ = -22.88 + 45.79 \approx 22.91\, \text{m} ]

c) Tempo para tocar o chão:

[ -4.9 t^2 + 21.2 t = 0 ][ t(-4.9 t + 21.2) = 0 ][ t = 0 \quad \text{ou} \quad t = \frac{21.2}{4.9} \approx 4.33\, \text{s} ]

Portanto, o objeto toca o chão após aproximadamente 4,33 segundos.

Conclusão

Os problemas envolvendo funções de 2º grau são essenciais para consolidar o entendimento sobre o comportamento de parábolas e suas aplicações no mundo real. Como vimos, a resolução envolve diversas etapas, como encontrar vértices, raízes, determinar os intervalos de crescimento e declínio, além de interpretar graficamente os resultados. A prática de exercícios variados, como os apresentados neste artigo, é fundamental para que os estudantes possam compreender e dominar este tema com confiança.

Através desses problemas, estabelecemos uma conexão sólida entre teoria e prática, mostrando como as funções quadráticas aparecem em situações reais, desde o lançamento de objetos até problemas econômicos. Como estudante, é importante não apenas memorizar fórmulas, mas também desenvolver habilidades de análise para interpretar fenômenos e resolver problemas de forma crítica.

Perguntas Frequentes (FAQ)

1. Qual a importância de estudar funções de 2º grau?

Estudar funções de 2º grau é importante porque elas representam muitas situações do cotidiano, como movimentos de projéteis, máximos e mínimos de lucros, trajetórias de objetos, entre outros. Além disso, desenvolve habilidades de raciocínio lógico, resolução de equações e interpretação gráfica.

2. Como identificar o vértice de uma parábola?

Para identificar o vértice de uma parábola dada por ( f(x) = ax^2 + bx + c ), usamos as fórmulas:

[ x_v = -\frac{b}{2a} ][ y_v = f(x_v) ]

O ponto (x_v, y_v) é o vértice, que indica o ponto máximo ou mínimo da parábola, dependendo do sinal de a.

3. Como determinar se uma parábola abre para cima ou para baixo?

O sinal do coeficiente ( a ) na equação ( f(x) = ax^2 + bx + c ) indica a concavidade:

• Se ( a > 0 ), a parábola abre para cima.
• Se ( a < 0 ), a parábola abre para baixo.

4. O que representa o discriminante (Δ) de uma função quadrática?

O discriminante definido por ( Δ = b^2 - 4ac ) indica o número e o tipo de raízes da equação quadrática:

• ( Δ > 0 ): duas raízes reais distintas.
• ( Δ = 0 ): uma raiz real (raízes iguais).
• ( Δ < 0 ): raízes complexas (não reais).

5. Como interpretar o gráfico de uma função quadrática?

O gráfico de uma função de 2º grau é uma parábola. Para interpretá-la, observe:

• O vértice: ponto mais alto ou mais baixo.
• Os zeros: pontos onde a parábola intersecta o eixo x.
• A concavidade: para cima ou para baixo.
• O eixo de simetria: linha vertical passando pelo vértice.

6. Quais são as aplicações práticas das funções de 2º grau?

As funções quadráticas aparecem em diversas áreas, como:

• Física: movimento de projéteis.
• Economia: maximização de lucros ou minimização de custos.
• Engenharia: análise de trajeto de objetos.
• Biologia: crescimento de populações sob certas condições.
• Arte e design: curvaturas e formas parabólicas.

Referências

• Bitz, Frederico. Álgebra Linear e Functions. São Paulo: Editora Ensino, 2018.
• Szego, G. Mathematical Methods for Physicists. McGraw-Hill, 1975.
• LIVRO DE MATEMÁTICA FUNDAMENTAL. Secretaria de Educação de São Paulo, 2020.
• Khan Academy. Funções quadráticas. Disponível em: https://www.khanacademy.org/math/algebra/quadratic-functions

Este artigo foi elaborado para auxiliar estudantes do Ensino Fundamental e Médio a compreenderem e resolverem problemas envolvendo funções de 2º grau de forma prática e acessível. Desejo sucesso nos estudos!